Crear un diagrama de bloques del sistema para el caso de estudio de CD/DVD

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Por Mark Wickert

El diagrama de bloques del sistema de control del trineo (posición láser gruesa) en una unidad de CD/DVD se compone de varios subsistemas. Comience con un modelo de sistema de tiempo continuo lineal invariable (LTI) del motor de accionamiento y los atributos mecánicos de la cadena de tracción del trineo (que incluye el engranaje de tornillo y el riel de deslizamiento). El motor es un sistema heterogéneo con una entrada de señal eléctrica; la salida es la posición radial del eje del motor.

El sistema es dinámico, lo que significa que el circuito de entrada tiene una relación de ecuación diferencial entre la señal de entrada y la rotación del eje. El lado mecánico también es dinámico, debido a un momento de inercia asociado con la carga acoplada al eje del motor y la fricción asociada con los cojinetes del eje, el conjunto del engranaje de tornillo y el riel de deslizamiento.

Para averiguar cómo manejar estos detalles en una situación del mundo real, es probable que trabaje con un ingeniero mecánico.

La figura muestra el modelo completo del sistema LTI junto con su función de sistema s-domain, que relaciona la salida θ(t) con la entrada va(t) en el s-domain.

Crédito: Ilustración por Mark Wickert, PhD

• Circuito de motor: La parte superior izquierda es un modelo de circuito del motor del trineo. Para girar el motor, se aplica una señal de entrada de control, la tensión va(t) o, si se trabaja en el s-dominio, la transformación Laplace (LT) de la señal de tensión.
• Eje motor: El voltaje a través de la resistencia del devanado de la armadura del motor Ra y la inductancia en serie La produce una corriente que resulta en una fuerza electromotriz, la cual hace que el eje gire. La rotación del eje está modelada por el ángulo θ(t) o, en el s-domain,

Un modelo mecánico del motor de trineo incluye el momento de carga equivalente de inercia J y la fricción b.

La figura anterior muestra un pequeño motor de corriente continua controlado por armadura, representativo de los pequeños motores que se encuentran en la electrónica de los ordenadores. La función de sistema para el motor contiene la dinámica (impactos de ecuaciones diferenciales) de los aspectos eléctricos y mecánicos del motor.

El término 1/s en el modelo mostrado – 1/s corresponde a la integración en el dominio del tiempo – convierte la velocidad de rotación a la posición de rotación. Sin el 1/s en el motor, la salida es la velocidad de rotación, lo que sería útil para modelar un sistema de control de velocidad pero no en un reproductor de CD/DVD.

La función del sistema del motor contiene cinco constantes para modelar los atributos eléctricos y mecánicos de este sistema:

• J = inercia equivalente del husillo y del patín (<eq18006>)
• b = fricción equivalente del husillo y del patín (kg/m/s)
• L = inductancia de armadura (mH)
• R = resistencia de la armadura (ohmios)
• Km = constante del motor (N x m/A)

Con números colocados en el modelo para las cinco constantes del motor, la función del sistema del motor, denotada como

se convierte

El lado eléctrico es responsable de un poste a s = -1.250 rad/s. El lado mecánico tiene un polo en s = -25 rad/s. Los polos representan el polinomio denominador de Gm(s) = 0.

En este modelo, suponga que el sensor de seguimiento funciona independientemente de cualquier otro sistema de control para el disco. Compruebe el diagrama de bloques completo del sistema de posicionamiento del trineo.

Crédito: Ilustración de Mark Wickert, PhDLa

señal de entrada r(t) – R(s) en el s-dominio – manda el trineo a una nueva posición. La salida y(t) – Y(s) w en el s-dominio – representa la posición lineal del trineo.

Piense en el modelo del sistema como dos partes separadas: la parte que diseña (controlador) y la parte con la que trabaja (planta). La planta, por cierto, también incluye el engranaje de tornillo que convierte la posición angular en una posición lineal con la constante de 10/(2π) mm/rad.

Un sensor de vía tiene una función de sistema de Gts(s) = 1 y mide la posición lineal del trineo para producir lo que se conoce como una señal de retroalimentación.

Reste la señal de realimentación de la entrada de posición deseada para formar la señal de error e(t) – E(s). La señal de error es amplificada por la ganancia Ka y alimentada al controlador.

Con el sensor de vía desconectado, r(t) controla directamente y(t) a través de una cascada de bloques de sistema, es decir, el controlador seguido por la planta. Al extender el teorema de convolución LT a múltiples funciones del sistema, la salida Y(s) puede escribirse en términos de la entrada R(s):

En el lenguaje de los sistemas de control, G0(s) se conoce como la función de bucle abierto. La variable libre en este diseño es la ganancia del amplificador Ka.

Con el interruptor de sensor de pista conectado (circuito de realimentación cerrado), ahora puede caracterizar el rendimiento del sistema de circuito cerrado resolviendo la función del sistema entre R(s) e Y(s) con realimentación presente. Para ello, escriba una expresión algebraica en el s-dominio que aproveche la naturaleza lineal invariable en el tiempo (LTI) de todos los bloques del sistema.

Trabajando desde el lado izquierdo del diagrama de bloques a la derecha, usa la versión s-domain del teorema de convolución para escribir una ecuación para Y(s) que te permita resolver para la función de circuito cerrado del sistemaH(s) = Y(s)/R(s). Una serie de cinco pasos te lleva allí:

1. Escribe una expresión s-domain para la señal de error E(s). La figura anterior muestra las entradas al bloque sumador en el extremo izquierdo R(s) e -Y(s), de modo que E(s) = R(s) -Y(s).
2. Escriba una expresión s-domain para la entrada del motor teniendo en cuenta la ganancia del amplificador Ka: Va(s) = Ka[R(s) -Y(s)].
3. Desarrollar una expresión s-domain para la posición rotacional del motor È(s). El teorema de la convolución revela que È(s) = Va(s) x Gm(s). Hacer sustituciones genera esta ecuación:
4. Expresar la salida del engranaje de tornillo, que es la salida de posición lineal deseada:
5. Resuelva para la función de sistema de circuito cerrado H(s) = Y(s)/R(s), usando el resultado del Paso 4 con la función de sistema de circuito abierto sustituida para mantener el limpiador matemático:

Este es un resultado bien conocido para los sistemas de realimentación que emplean ganancia unitaria, Gts(s) = 1, en la trayectoria de realimentación. Muestra que la función de sistema de lazo cerrado es la función de sistema de lazo abierto dividida por una más la función de sistema de lazo abierto.