Dimensionamiento del área de un polígono

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Geometría para Explicado, 2ª edición

Por Mark Ryan

Los polígonos no sólo se pueden clasificar por el número de lados que tienen y por sus ángulos, sino que también se pueden agrupar de acuerdo con algunas de sus cualidades. Los polígonos pueden tener tres características de personalidad: equilátero, equiangular y regular.

En un polígono equilátero, todos los lados son iguales y hay al menos un ángulo no similar. En un polígono equiangular, todos los ángulos son iguales y al menos un lado no coincide con la longitud de los otros. Un polígono regular es tanto equilátero como equiangular; tiene simetría total – lados iguales y ángulos iguales.

Algunas líneas son especiales

Cuando te propongas encontrar el área de un polígono regular, debes tener en cuenta que los polígonos regulares tienen líneas con un significado especial. Estas líneas incluyen el radio y el apotema.

El radio es una línea que va desde el centro del polígono a un codo (o vértice si prefieres el balbuceo técnico) del polígono, dividiendo ese ángulo en dos partes iguales. Cuando dos radios diferentes en un polígono se dibujan en dos vértices consecutivos, se forma un ángulo central en el centro del polígono (ver Figura 1).

Figura 1: Dos radios dibujados en dos vértices consecutivos forman un ángulo central de un polígono regular.

A diferencia del radio, que cruza un ángulo, un apotema corre desde el centro del polígono hacia un lado plano del polígono. En el momento del impacto, el apotema se convierte en una bisectriz perpendicular del lado con el que choca (véase la figura 2).

Figura 2: Un apotema de un polígono regular se convierte en una bisectriz perpendicular.

Una fiesta de teoremas

Existe una serie de teoremas para los radios, ángulos centrales y apotemos de los polígonos regulares. He aquí un resumen para su placer de lectura:

• Teorema 5-8: Los radios de un polígono regular dividen en dos el ángulo interior.
• Teorema 5-9: Los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes.
• Teorema 5-10: Los ángulos centrales de los polígonos regulares con lados iguales son congruentes.
• Teorema 5-11: La medida de un ángulo central en un polígono regular es igual a 360° dividido por el número de lados del polígono.
• Teorema 5-12: Un apotema de un polígono regular divide en dos el ángulo central (determinado por el lado) al que está dibujado.
• Teorema 5-13: Un apotema de un polígono regular es una bisectriz perpendicular al lado al que está dibujado.

Poniendo todo junto

Puede calcular el área de un polígono regular usando la longitud de su apotema y la longitud de su perímetro: Necesita inspeccionar el perímetro y determinar su longitud. Utilice la información sobre la longitud de un lado. Debido a que el polígono es regular, las longitudes son las mismas para cada lado. Multiplique el número de lados del polígono por la longitud de un lado, y obtendrá el perímetro. El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del apotermo y del perímetro.

Teorema 5-14: La fórmula para el área de un polígono regular es A = 1/2ap, donde a es el apotema y p es el perímetro.

Traducción: Si tiene un polígono regular, conecte la longitud del apotema y el perímetro en la fórmula, y obtendrá el área.

Eche un vistazo a la Figura 3 para ver un ejemplo. La información dada indica que la longitud de un lado del pentágono es igual a 5 y que el apotermo es igual a 6. Antes de poder determinar el área, primero debe calcular el perímetro. Si la longitud de un lado del pentágono es 5, entonces el perímetro es igual a la longitud de un lado de 5 multiplicado por cinco lados. Así que el perímetro total del Pentágono es igual a 25. Si conecta esta información a la fórmula de área, obtendrá lo siguiente:

A = 1/2 (6)(25)

A = 1/2 (150)

A = 75

Así que el área del pentágono en la Figura 3, con la información dada, es de 75 unidades cuadradas.

Figura 3: Se puede determinar el área de un pentágono empezando por la longitud de un lado y la longitud del apotermo.

Ahora considera esto: Del mismo modo que puede añadir segmentos de línea y ángulos, también puede añadir áreas.

Postulado 5-1: Si un polígono encierra regiones más pequeñas y no solapadas dentro de su perímetro, entonces el área de ese polígono es igual a la suma de las áreas de las regiones encerradas.

Echa un vistazo al polígono cóncavo en la Figura 4. Para encontrar el área total de la figura, obtenga el área de las secciones que puede obtener fácilmente. Mira con atención: En realidad puede dividir el polígono en dos rectángulos no solapados. Halla el área de cada rectángulo y luego súmalos. Entonces tienes el área de todo el polígono.

Figura 4: En un polígono, la suma de las áreas de las regiones no superpuestas es igual a toda el área del polígono.