El Teorema de Pitágoras en las Matemáticas del Núcleo Común

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Por Christopher Danielson

El octavo grado es cuando los estudiantes aprenden el teorema de Pitágoras en los Estándares Comunes del Estado. El teorema de Pitágoras es este: En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos piernas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Esta definición parece un poco desconcertante, pero la idea no es tan complicada. Esta cifra es más fácil de interpretar.

Un ejemplo del teorema de Pitágoras.

El área de cada cuadrado más pequeño es igual al cuadrado de la longitud de una pata, donde una pata es uno de los dos lados más cortos del triángulo rectángulo. El área del cuadrado más grande es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa, donde la hipotenusa es la longitud del lado más largo de un triángulo recto. El teorema de Pitágoras dice que las áreas de los dos cuadrados más pequeños suman para ser iguales al área del cuadrado más grande.

En los símbolos, esta relación se expresa de forma aún más compacta. Si a y b son las longitudes de las patas de un triángulo recto y ifc es la longitud de la hipotenusa, entonces

Dos de los errores más comunes que cometen los estudiantes cuando se acostumbran a usar el teorema de Pitágoras son pensar que a+ b = c, y olvidar que la suma de

es el cuadrado de la longitud c. Puedes disminuir la probabilidad de cada uno de estos errores dibujando un diagrama como el de la primera figura, con números sustituidos por los números del problema que estás trabajando. Este diagrama ayuda a enfocar su atención en la relación entre las longitudes de los lados del triángulo y las áreas de los cuadrados.

Los alumnos de octavo grado aprenden una prueba del teorema de Pitágoras. La siguiente figura muestra dos cuadrados grandes con la misma área.

Una prueba del teorema de Pitágoras.

Cada uno de estos grandes cuadrados está subdividido en cuatro triángulos rectos congruentes y algunas otras cosas. En el cuadrado grande de la izquierda, las cosas están dispuestas de tal manera que la otra cosa consiste en un cuadrado en cada pata del triángulo rectángulo. En el cuadrado grande de la derecha, la otra cosa consiste en un cuadrado en la hipotenusa. La conclusión es que los dos cuadrados de las piernas tienen la misma área combinada que el cuadrado de la hipotenusa, así que

La clave de esta prueba es que lo único especial de los triángulos es que son triángulos rectos.

Lo contrario de un teorema en matemáticas no es generalmente cierto, pero lo contrario del teorema de Pitágoras es cierto. El teorema de Pitágoras comienza con un triángulo recto y concluye que las longitudes de los lados tienen la relación

La conversación comienza con un triángulo cuyos lados tienen la relación

y concluye que el triángulo es recto.

Una última palabra sobre el teorema de Pitágoras: La relación

no es cierto para los triángulos que no son triángulos rectos. En cambio, si el ángulo más grande en un triángulo es agudo, entonces la suma de las áreas de los cuadrados con las longitudes laterales a y b será mayor que el área del cuadrado con la longitud lateral c.

y si es un ángulo obtuso, entonces lo opuesto es cierto. La suma de las áreas de los dos primeros cuadrados será menor que el área del tercero.

(como puede ver en la siguiente figura).


a2 + b2 no es igual a c2 en estos” width=”325″/>Notice que a2 + b2 no es igual a c2 en estos triángulos.