Caso de Señales del Mundo Real y Sistemas: Resolviendo el problema de caída del DAC ZOH en el dominio z

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Por Mark Wickert

El zero-order-hold (ZOH), que es inherente a muchos convertidores digital-analógico (DAC), mantiene constante la salida analógica entre muestras. La acción del ZOH introduce la caída de frecuencia, un desplazamiento de la respuesta de frecuencia efectiva del DAC en el intervalo de frecuencia de cero a la mitad de la frecuencia de muestreo fs, en la reconstrucción de y(t) a partir de y[n]. Dos posibles respuestas son

  • Aplicar un filtro moldeador de función sincera inversa en el dominio del tiempo continuo.
  • Corregir la caída antes de que la señal salga del DAC.

Aquí se muestra el diagrama de bloques del sistema.

Imagine que un ingeniero senior le pide que investigue la efectividad de los filtros digitales de respuesta a impulsos infinitos (IIR) y respuesta a impulsos finitos (FIR) como una forma de mitigar la caída de frecuencia ZOH. Necesita verificar qué tan bien funcionan realmente estos filtros. Las funciones del sistema de filtrado son

Para resolver este problema, es necesario utilizar la relación frecuencia-dominio desde los dominios de tiempo discreto a tiempo continuo. La relación, relativa a la notación de la figura, es la siguiente

Puede asumir que el filtro de reconstrucción analógico elimina los espectros de señal más allá de fs/2.

La respuesta de frecuencia de interés resulta ser la cascada de

Siga estos pasos para justificar este resultado:

  1. Desde el teorema de la convolución para espectros de frecuencia en el dominio de tiempo discreto, obtenemos
  2. Utilice la relación entre espectros discretos y continuos para descubrir que el lado de salida del DAC es
  3. Utilice el teorema de convolución para espectros de frecuencia en el dominio de tiempo continuo para empujar el espectro de salida del DAC a través del filtro ZOH: El resultado de la cascada se establece ahora.

Para ver la respuesta de frecuencia equivalente para este problema en el dominio de tiempo discreto, sólo necesita cambiar las variables de acuerdo con la teoría del muestreo:

Reorganizar las variables en el resultado de la cascada visto desde la perspectiva de un dominio de tiempo discreto es lo siguiente

La respuesta de frecuencia del ZOH es

Poner las piezas juntas y considerar sólo la respuesta de magnitud revela esta ecuación:

Para verificar el desempeño, evalúe la función sincera y las respuestas FIR utilizando el enfoque de la función signal.freqz() de SciPy de la receta del dominio de frecuencia. Compruebe los resultados en la siguiente figura.

En[393]: w = linspace(0,pi,400)En[394]: H_ZOH_T = sinc(w/(2*pi))En[395]: w,H_FIR = signal.freqz(array([-1, 18,-1])/16.En[396]: w,H_IIR = señal.freqz([-9/8.],[1, 1/8.],w)En[402]: plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H_ZOH_T)))En[403]: # other plot cammand lines similarIn[412]: plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H_FIR)*abs(H_ZOH_T))))

Estos resultados son impresionantes para unos filtros de corrección tan sencillos. El objetivo es conseguir una planitud cercana a 0 dB de 0 a π rad/sample (0 a 0,5 normalizado). La respuesta es plana en un rango de 0,5 dB a 0,4 rad/sample para el filtro IIR; es un poco peor para el filtro FIR.