Determinar las áreas señaladas en un problema

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Por Mark Zegarelli

La solución a una integral definitiva le da el área firmada de una región. En algunos casos, el área firmada es lo que usted quiere, pero en algunos problemas está buscando un área sin firmar.

El área señalizada por encima del eje x es positiva, pero el área señalizada por debajo del eje x es negativa. En contraste, el área no firmada siempre es positiva. El concepto de área sin signo es similar al concepto de valor absoluto. Así que si es útil, piense en el área sin signo como el valor absoluto de una integral definida.

En los problemas en los que se le pide que encuentre el área de una región sombreada en un gráfico, está buscando un área sin signo. Pero si no está seguro de si una pregunta le pide que busque un área con o sin firma, pregúntele al profesor. Esto se duplica si una pregunta del examen no está clara. La mayoría de los profesores responderán preguntas aclaratorias, así que no sea tímido de preguntar.

Suponga que se le pide que calcule el área sombreada sin firmar que se muestra en esta figura.

y = x2 -1 e y = 1 – x”/>>Encontrar el área entre y = x2 -1 e y = 1 – x4

. Esta área es en realidad la suma de la región A, que está por encima del eje x, y la región B, que está por debajo. Para resolver el problema, es necesario encontrar la suma de las áreas sin signo de estas dos regiones.

Afortunadamente, ambas funciones se cruzan entre sí y el eje x en los mismos dos valores de x:x = -1 y x = 1. Establezca integrales definidas para encontrar el área de cada región de la siguiente manera:

Note que la integral definitiva para la región B se niega para explicar el hecho de que la integral definitiva produce un área negativa por debajo del eje x. Ahora sólo suma las dos ecuaciones:

Resolver esta ecuación te da la respuesta que estás buscando (¡ten cuidado con todos esos signos menos!):

Observe en este punto que la expresión entre paréntesis, que representa el área con signo de la región B, es negativa. Pero el signo menos fuera del paréntesis automáticamente invierte el signo como se pretendía: