Determinar el área sin firmar entre las curvas

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Por Mark Zegarelli

Puede utilizar el concepto de área sin signo para medir el área entre curvas. Por ejemplo, puede utilizar esta técnica para encontrar el área sombreada sin signo en la siguiente figura.

Encontrar el área entre y = 4x – x2 e y = sin x de x = 0 a x = 4

. En este ejemplo, usted aproximará su respuesta a dos decimales usando

El primer paso es encontrar una ecuación para la solución (que probablemente le dará crédito parcial), y luego preocuparse por resolverla.

Primero, divida el área sombreada en tres regiones etiquetadas A, B y C. También debe etiquetar la región D, que debe considerar. Observe que x = separa las regiones A y B, y el eje x separa las regiones B y C.

Podrías encontrar tres ecuaciones separadas para las regiones A, B y C, pero hay una mejor manera.

Para medir el área sin signo entre dos funciones, utilice este truco rápido:

Área = Integral de la función superior – Integral de la función inferior

¡Eso es todo! En lugar de medir el área por encima y por debajo del eje x, simplemente conecte las dos integrales en esta fórmula. En este problema, la función superior es 4x – x2 y la función inferior es sin x:

Esta evaluación no es tan horrible:

Cuando llegas a este punto, ya puedes ver que estás en el buen camino, porque el profesor fue lo suficientemente amable como para darte un valor aproximado de cos 4:

Por lo tanto, el área sin signo entre las dos funciones es de aproximadamente 9,02 unidades.

Si las dos funciones cambian de posición, es decir, la parte superior se convierte en la inferior y la inferior en la superior, es posible que sea necesario dividir el problema en regiones. Pero incluso en este caso, todavía puede ahorrar mucho tiempo usando este truco.

Aquí hay otro ejemplo: Halla el área entre y = x y

como se muestra en esta figura.

Primero, mida el área sombreada de la figura usando cuatro regiones separadas. He aquí cómo hacerlo usando el truco de arriba y abajo.

Observe que las dos funciones se cruzan en x = 1. Así que de 0 a 1, la función superior es

y de 1 a 2 la función superior es x. Así que establece dos ecuaciones separadas, una para la región A y otra para la región B:

Cuando se completan los cálculos, se obtienen los siguientes valores para A y B:

Suma estos dos valores para obtener tu respuesta:

Como puedes ver, el truco de arriba y abajo te da la misma respuesta mucho más simple que medir regiones.

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