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- Encontrar áreas exactas bajo una curva usando la Integral Definitiva
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Por Mark Ryan
Cuando se aproxima el área bajo una curva usando rectángulos de punto medio, derecho o izquierdo, cuantos más rectángulos se usen, mejor será la aproximación. Por lo tanto, “todo” lo que tendrías que hacer para obtener el área exacta bajo una curva es usar un número infinito de rectángulos. Ahora, realmente no se puede hacer eso, pero con la fantástica invención de los límites, esto es lo que sucede. Aquí está la definición de la integral definitiva que se utiliza para calcular las áreas exactas.
La definición integral definida (definición”simple”): El área exacta bajo una curva entre x = a y x = b viene dada por la integral definida, que se define como el límite de una suma de Riemann:
¿Es eso una cosa de belleza o qué? Nótese que esta suma (todo a la derecha de “lim”) es idéntica a la fórmula para n rectángulos rectángulos rectos, Rn:
La única diferencia es que se toma el límite de esa fórmula cuando el número de rectángulos se acerca al infinito.
Esta definición de la integral definitiva es la versión simple basada en la fórmula del rectángulo recto. Verá la definición de real-McCoy en un momento, pero como todas las sumas de Riemann para un problema específico tienen el mismo límite – en otras palabras, no importa qué tipo de rectángulos utilice – también podría utilizar la definición de rectángulo recto. Es el menos complicado y siempre será suficiente.
rectángulos rectos aproximan el área bajo f (x) = x2/p>Seis rectángulos rectos aproximan el área bajo f (x) = x2+ 1 entre 0 y 3
. Aquí está el área exacta bajo f(x) = x2+ 1 entre x = 0 y x = 3
:
Gran sorpresa.
Este resultado es bastante asombroso si lo piensas. Usando el proceso de límite, usted obtiene una respuesta exacta de 12 – algo así como 12.000000000000… hasta un número infinito de decimales – para el área bajo la función de curvatura suave f(x) = x2+ 1, basado en las áreas de rectángulos planos que corren a lo largo de la curva en forma de dientes de sierra dentados.
Encontrar el área exacta de 12 usando el límite de una suma de Riemann es mucho trabajo (recuerda, primero tienes que determinar la fórmula para n rectángulos rectos). Este complicado método de integración es comparable a la determinación de un derivado por la vía difícil usando la definición formal que se basa en el cociente de diferencia.
Debido a que el límite de todas las sumas de Riemann es el mismo, los límites en el infinito de n rectángulos izquierdos y n rectángulos de punto medio – para f(x) = x2+ 1 entre x = 0 y x = 3 – deberían dar el mismo resultado que el límite en el infinito de n rectángulos rectos. Aquí está el límite del rectángulo izquierdo:
Y aquí está el límite del punto medio del rectángulo:
Si usted está algo incrédulo de que estos límites realmente le dan el área exacta bajo f(x) = x2+ 1 entre 0 y 3, usted no está solo. Después de todo, en estos límites, como en todos los problemas de límites, el número de flecha
sólo se aproxima; nunca se alcanza realmente. Y encima de eso, ¿qué significaría alcanzar el infinito? No puedes hacerlo. Y sin importar cuántos rectángulos tenga, siempre tendrá ese borde dentado y dentado. Entonces, ¿cómo puede un método de este tipo darle el área exacta?
Míralo de esta manera. Echa un vistazo a las siguientes dos cifras.
f (x) = x2 + 1 entre x = 0 y x/p>El área exacta bajo f (x) = x2 + 1 entre x = 0 y x = 3 (izquierda) es aproximada por el área de tres rectángulos (derecha). f (x) = x2 + 1.”/>Seis rectángulos “izquierdos” aproximan el área bajo f (x) = x2 + 1.D
e estas cifras se puede deducir que la suma de las áreas de los rectángulos izquierdos, independientemente de su número, siempre será una subestimación (este es el caso de las funciones que están aumentando en el periodo en cuestión).
Y de la siguiente figura se puede ver que la suma de las áreas de rectángulos rectos, independientemente de cuántos tenga, siempre será una sobreestimación (para aumentar las funciones).
f (x) = x2/p>Tres rectángulos rectangulares usados para aproximar el área bajo f (x) = x2 + 1
.Así que, debido a que los límites en el infinito de la subestimación y la sobreestimación son ambos iguales a 12, esa debe ser el área exacta. (Un argumento similar funciona para las funciones decrecientes.)
Todas las sumas de Riemann para un problema dado tienen el mismo límite. No sólo los límites en el infinito de los rectángulos del punto medio, derecho e izquierdo son los mismos para un problema dado, sino que el límite de cualquier suma de Riemann también le da la misma respuesta. Puede tener una serie de rectángulos con anchos desiguales; puede tener una mezcla de rectángulos a la izquierda, a la derecha y al punto medio; o puede construir los rectángulos de manera que toquen la curva en algún otro lugar que no sea en sus esquinas superior izquierda o derecha o en los puntos medios de sus lados superiores. Lo único que importa es que, en el límite, la anchura de todos los rectángulos tiende a cero (y de esto se deduce que el número de rectángulos se acerca al infinito). Esto le lleva a la siguiente jerga de integración totalmente extrema y sucia que tiene en cuenta todas estas posibilidades.
La integral definitiva (definición real-McCoy): La integral definitiva de
es el número al que tienden todas las sumas de Riemann, ya que la anchura de todos los rectángulos tiende a cero y el número de rectángulos se acerca al infinito:
es el ancho del i-ésimo rectángulo y ci es la coordenada x del punto donde el i-ésimo rectángulo toca f (x). (Que
simplemente garantiza que el ancho de todos los rectángulos se aproxime a cero y que el número de rectángulos se aproxime al infinito.)