Trabajando con triángulos triples pitagóricos

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Geometría para Explicado, 2ª edición

Por Mark Ryan

Los primeros cuatro triángulos triples pitagóricos son los favoritos de los creadores de problemas de geometría. Estos triples – especialmente el primero y el segundo de la lista que sigue – aparecen por todas partes en los libros de geometría. (Nota: Los primeros dos números en cada uno de los triángulos triples son la longitud de las patas, y el tercero, el número más grande es la longitud de la hipotenusa).

Aquí están los primeros cuatro triángulos triples pitagóricos:

• El triángulo 3-4-5
• El triángulo 5-12-13
• El triángulo 7-24-25
• El triángulo 8-15-17

Haría bien en memorizar estos Fab Four para poder reconocerlos rápidamente en las pruebas.

Formación de triángulos triples pitagóricos irreductibles

Como alternativa al conteo de ovejas alguna noche, tal vez quieras ver cuántos triángulos triples pitagóricos se te ocurren.

Los tres primeros de la lista anterior siguen un patrón. Considere el triángulo 5-12-13, por ejemplo. El cuadrado de la pierna más pequeña y extraña

es la suma de la pierna más larga y la hipotenusa (12 + 13 = 25). Y la pierna más larga y la hipotenusa son siempre números consecutivos. Este patrón facilita la generación de tantos triángulos como se desee. Esto es lo que harás:

1. Toma cualquier número impar y cuadrácualo.
2. Encuentra los dos números consecutivos que suman este valor.40 + 41 = 81A menudo puedes sacar los dos números de la parte superior de tu cabeza, pero si no los ves de inmediato, resta 1 del resultado en el Paso 1 y luego divide esa respuesta por 2: Ese resultado y el siguiente número mayor son tus dos números.
3. Escribe el número que has cuadrado y los dos números del Paso 2 en orden consecutivo para nombrar tu triple.

Aquí están los siguientes triángulos pitagóricos triples que siguen este patrón:

Esta lista es interminable – capaz de tratar con el peor caso posible de insomnio. Y note que cada triángulo en esta lista es irreducible; es decir, no es un múltiplo de algún triángulo pitagórico más pequeño (en contraste con el triángulo 6-8-10, por ejemplo, que no es irreducible porque es el triángulo 3-4-5 doblado).

Cuando haces un nuevo triángulo pitagórico triple (como el 6-8-10) volando uno más pequeño (el 3-4-5), obtienes triángulos con exactamente la misma forma. Pero cada triple triángulo pitagórico irreductible tiene una forma diferente de todos los demás triángulos irreductibles.

Formar más triángulos pitagóricos triples

El triángulo 8-15-17 es el primer triángulo pitagórico triple que no sigue el patrón mencionado anteriormente. Así es como se generan los triples que siguen el patrón 8-15-17:

1. Tome cualquier múltiplo de 4. Digamos que elige 12.
2. La mitad cuadrada.
3. Toma el número del Paso 1 y los dos números impares a cada lado del resultado en el Paso 2 para obtener un triángulo pitagórico triple.12-35-37

Los próximos triples de este conjunto infinito son

Por cierto, puede utilizar este proceso para los otros números pares (los no múltiplos de 4) como 10, 14, 18, y así sucesivamente. Pero se obtiene un triángulo como el 10-24-26, que es el 5-12-13 del triángulo pitagórico, que es el doble de su tamaño, en lugar de un triángulo irreductible y de forma única.