Buscar el área entre dos funciones

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Por Mark Zegarelli

Para encontrar un área entre dos funciones, es necesario configurar una ecuación con una combinación de integrales definidas de ambas funciones. Por ejemplo, suponga que desea calcular el área sombreada entre y = x2 y

como se muestra en esta figura.

Primero, observe que las dos funciones y = x2y

se cruzan donde x = 1. Esta información es importante porque le permite configurar dos integrales definidas para ayudarle a encontrar la región A:

Aunque ninguna de las dos ecuaciones te da la información exacta que buscas, juntas te ayudan. Simplemente resta la segunda ecuación de la primera de la siguiente manera:

Con el problema configurado correctamente, ahora todo lo que tienes que hacer es evaluar las dos integrales:

Así que el área entre las dos curvas es

Como otro ejemplo, suponga que desea encontrar el área entre y = x y

como se muestra en esta figura.

Esta vez, el área sombreada es dos regiones separadas, etiquetadas A y B. La Región A está limitada arriba por

y limitada por debajo por y = x. Sin embargo, para la región B, la situación es inversa, y la región está limitada por arriba por y = x y limitada por debajo por

Las Regiones C y D también están etiquetadas, ya que ambas figuran en el problema.

El primer paso importante es encontrar dónde se cruzan las dos funciones, es decir, dónde la siguiente ecuación es verdadera:

Afortunadamente, es fácil ver que x = 1 satisface esta ecuación.

Ahora usted quiere construir unas cuantas integrales definidas para ayudarle a encontrar las áreas de la región A y la región B. Aquí hay dos que pueden ayudarle con la región A:

Note que la segunda integral definida se evalúa sin cálculo, usando geometría simple. Esto es perfectamente válido y un gran ahorro de tiempo.

Restar la segunda ecuación de la primera proporciona una ecuación para el área de la región A:

Ahora construye dos integrales definidas para ayudarte a encontrar el área de la región B:

Esta vez, la primera integral definitiva se evalúa utilizando geometría en lugar de cálculo. Restar la segunda ecuación de la primera da una ecuación para el área de la región B:

Ahora puedes establecer una ecuación para resolver el problema:

En este punto, estás forzado a hacer algo de cálculo:

El resto es sólo aritmética: