Encontrar el área de una superficie de revolución

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Por Mark Zegarelli

Lo bueno de encontrar el área de una superficie de revolución es que hay una fórmula que se puede usar. Memorízalo y estarás a medio hacer.

Para encontrar el área de una superficie de revolución entre a y b, utilice la siguiente fórmula:

Esta fórmula parece larga y complicada, pero tiene más sentido cuando usted pasa un minuto pensando en ella. La integral está formada por dos piezas:

  • La fórmula de longitud de arco, que mide la longitud a lo largo de la superficie
  • La fórmula para la circunferencia de un círculo, que mide la longitud alrededor de la superficie

Así que multiplicar estas dos piezas juntas es similar a multiplicar el largo y el ancho para encontrar el área de un rectángulo. En efecto, la fórmula permite medir la superficie como un número infinito de pequeños rectángulos.

Cuando esté midiendo la superficie de revolución de una función f(x) alrededor del eje x, sustituya r = f(x) en la fórmula:

Por ejemplo, suponga que desea encontrar el área de revolución que se muestra en esta figura.

y = x3 entre x = 0 y “/>>Medición de la superficie de la revolución de y = x3 entre x = 0 y x = 1

.Para resolver este problema, primero tenga en cuenta que para

Por lo tanto, configure el problema de la siguiente manera:

Para empezar, simplifique un poco el problema:

Puede resolver este problema utilizando la siguiente sustitución de variables:

Ahora sustituye 1+ 9×4 por u y

para x3dx en la ecuación:

Note que usted cambia los límites de la integración: Cuando x = 0, u = 1. Y cuando x = 1, u = 10.

Ahora puede realizar la integración:

Finalmente, evaluar la integral definitiva: