Identidades del seno y del coseno pitagórico en un círculo unitario

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Por Mary Jane Sterling

Si alguna vez te has preguntado por qué la identidad pitagórica, sin2θ + cos2θ = 1, es tan importante, y de dónde viene, entonces sigue leyendo. Esta identidad es importante porque establece una expresión con funciones trigonométricas iguales a 1, y esta simplificación es muy útil para resolver ecuaciones. Como tal, ésta es probablemente una de las identidades de trigonometría más utilizadas.

Encontrar la identidad pitagórica en un círculo de unidades.

Como puedes ver en la figura anterior, esta identidad viene de poner un triángulo recto dentro del círculo unitario y sustituir valores y ecuaciones para llegar a una ecuación totalmente nueva.

y r es el radio del círculo. El valor de x es también la longitud del lado adyacente del triángulo, y y es la longitud del lado opuesto. En un círculo unitario, el radio es igual a 1. Cuando sustituyes ese valor en la ecuación, encuentras que

Mantén ese pensamiento.

El teorema de Pitágoras dice que cuando se cuadratura el valor de cada una de las dos patas de un triángulo y se suman los resultados, se obtiene el cuadrado de la hipotenusa. En notación matemática, se ve así: a2 + b2 = c2. En el caso del triángulo recto en el círculo unitario, debido a que el radio (que es también la hipotenusa) es 1, se puede decir que x2 + y2 = 12. Ahora reemplaza la x con cos y la y con sin, cambia los dos términos alrededor, y obtienes sin2 + cos2 = 1.

Si todo esto le parece una gran cantidad de engaños, compruebe esta identidad en acción. Supongamos que el ángulo en cuestión es de 30 grados. Usando los valores para las funciones de un ángulo de 30 grados,

y poniéndolos en la identidad, obtienes

¡Voilà!

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