Aplicando los cuadráticos a situaciones de la vida real

En 1972, se podía comprar un cometa Mercury por unos 3.200 dólares. Los coches pueden depreciarse en valor con bastante rapidez, pero un cometa de 1972 en perfectas condiciones puede valer mucho dinero para un coleccionista hoy en día.

Que el valor de uno de estos Cometas sea modelado por la función cuadrática v(t) = 18.75t2 – 450t + 3,200, donde t es el número de años desde 1972. ¿Cuándo es el valor de la función igual a 0 (qué es una intersección x), cuál fue el valor más bajo del coche y cuál fue su valor en 2010?

El valor del auto nunca bajó a 0, el valor más bajo fue de $500, y el auto valió $13,175 en el año 2010. En este modelo, la intersección y representa el valor inicial. Cuando t = 0, la función es v(0) = 3.200, que corresponde al precio de compra.

Encuentra las intersecciones x resolviendo 18.75t2 -450t + 3,200 = 0. Usando la fórmula cuadrática (podrías tratar de factorizar, pero es un poco difícil y, como resulta, la ecuación no factoriza), obtienes -37,500 bajo el radical en la fórmula. No se puede obtener una solución de número real, así que el gráfico no tiene intersección x. El valor del Cometa nunca baja a 0.

Encuentra el valor más bajo determinando el vértice. Usando la fórmula,

Esta coordenada te dice que 12 años desde el comienzo (1984 – suma 12 a 1972), el valor del Cometa está en su punto más bajo. Reemplaza las t en la fórmula con 12, y obtienes v(12) = 18.75(12)2 – 450(12) + 3,200 = 500.

El Cometa valía 500 dólares en 1984. Para encontrar el valor del coche en 2010, se deja t = 38, porque el año 2010 es 38 años después de 1972. El valor del automóvil en 2010 es v(38) = 18.75(38)2 – 450(38) + 3,200 = $13,175.